🔥 Laboratório: Equação do Calor → Black–Scholes

O que você está vendo

A equação de Black–Scholes parece uma coisa; a equação do calor parece outra. Uma troca de variáveis mostra que são a mesma equação. Com taxa de juros zero, escrevendo o preço em log-moneyness z = ln(S/K) − ½σ²τ, onde τ = T − t é o tempo que falta para o vencimento, tudo colapsa em:

Calor puro. E a condição inicial dessa difusão é o payoff no vencimento. Ou seja: precificar uma opção é pegar o payoff e deixá-lo difundir para trás no tempo. Quanto mais tempo falta, mais o perfil se espalha e mais suave ele fica.

Esta página resolve a EDP de verdade, por diferenças finitas, no seu navegador — 601 pontos de malha, esquema explícito. A linha verde é a fórmula fechada de Black–Scholes calculada independentemente. Elas coincidem porque são a mesma matemática por dois caminhos.

Quer ver a conta que justifica isto? Escrevi a dedução completa da mudança de variáveis, passo a passo, incluindo o caso com juros diferentes de zero. Ler a dedução

O bico que derrete é a sua optionality

No vencimento, o call tem um bico em S = K: o delta salta de 0 para 1 de uma vez, e o gamma é um infinito pontual. Arraste o tempo para trás e veja o bico derreter numa curva suave. Essa suavização é o valor temporal da opção. A diferença vertical entre a curva azul e a dourada é exatamente o que você paga por ainda não saber o que vai acontecer.

Por que digitais são um pesadelo perto do vencimento

Troque o payoff para Digital e leve o tempo perto de zero. O perfil vira um degrau, e o delta explode: para entregar 1 real se S > K e nada caso contrário, o hedge exige comprar e vender quantidades enormes em torno do strike. Longe do vencimento, a difusão transforma o degrau numa sigmoide bem-comportada. É por isso que mesa nenhuma gosta de carregar digital grande com dois dias para o vencimento.

A borboleta é a densidade de probabilidade

Escolha Borboleta. O payoff é um triângulo estreito em torno do strike central — quase uma função indicadora de "o preço terminar aqui". O preço dessa estrutura, dividido pela largura, é aproximadamente a densidade neutra ao risco naquele ponto. É o resultado de Breeden–Litzenberger: o mercado de opções cotiza, sem dizer isso em voz alta, a distribuição inteira do ativo. Veja o triângulo virar um sino conforme o tempo aumenta — esse sino é a lognormal do modelo.

Alta frequência morre primeiro

No modo Desenhar, faça um perfil cheio de ondulações finas e depois avance o tempo. As ondas curtas somem quase imediatamente; as largas persistem. A razão: o modo de frequência k decai como e^{−σ²k²τ/2} — o quadrado no expoente. Difusão é um filtro passa-baixa, e é por isso que o preço de uma opção com muito tempo até o vencimento é quase insensível aos detalhes finos do payoff.